Hengen dimensiot ja matematiikka            (Takaisin)

Seppo Ilkka

Henkiset etsijät puhuvat uudesta ajasta ja siirtymisestä korkeampiin ulottuvuuksiin. Tieteiden kuningatar matematiikka on kulkenut tässä ajattelun edelläkävijänä.

Kerrotaan, että suuren filosofi Platonin (n. 428–348 eKr.) Akatemian oven ylle oli kirjoitettu: ”Ken ei geometriaa taida, älköön tästä ovesta käykö”. Platon on yksi merkittävimmistä länsimaisen filosofian ja ajattelun isistä. Geometria edusti antiikin Kreikan matematiikkaa parhaimmillaan. Platon muistetaan kaikkiaan erittäin laaja-alaisena ajattelijana. Miksi hän asetti juuri geometrian niin korkeaan asemaan?

Yhtenä lähtökohtana geometrian osaamiselle on pidetty Niilin tulvia muinaisessa Egyptissä. Nämä veivät mukanaan maanviljelijöiden palstojen rajamerkit. Joka vuosi jouduttiin mittaamaan uudelleen peltojen paikat. Kun antiikin Kreikan filosofit olivat tutustuneet tähän taitoon, he rupesivat tutkimaan sen luonnetta. He havaitsivat, että geometrian tuloksia voitiin todistaa päättelemällä lähtien muutamista yksinkertaisista väittämistä. Astumalla tämän askeleen Kreikan filosofit laajensivat ihmiskunnan tietoisuutta nostamalla jokapäiväisessä elämässä tarvitun taidon ideoiden maailmaan.

Laskentataidon kehittyminen ensin aritmetiikaksi, kokonaisluvuilla laskemisen hallinnaksi, ja sittemmin erilaisten lukujärjestelmien teoriaksi ja algebraksi on tapahtunut useissa vaiheissa eri kulttuureissa. Platonin aikaan geometria oli teoriana valmiimpi.

Henkiset ulottuvuudet

Henkisessä kirjallisuudessa kutsutaan jokapäiväistä maallista olemassaoloa usein 3D:ksi. Väitetään, että Maa ja ihmiset olisivat siirtymässä korkeampiin ulottuvuuksiin, joista monet käyttävät nimityksiä 4D tai 5D, neljäs ja viides dimensio. Näitä ulottuvuuksia on luonnehdittu lyhyesti seuraavaan tapaan:

1D: Maan rautakristalliydin, kiinteä aine. Pimeä ydin, jonka energioiden täydellinen hallinta vaatisi mestaritason taitoja.

2D: Elementaariset energiakeskukset ja linjat. Luonnonhenkien alue.

3D: Maan lineaarinen tila ja aika. Ihmisten jokapäiväinen olemassaolo.

4D: Astraalisen henkimaailman taso, arkkityyppiset olennot. Jokapäiväisen ajattelun ja tunteiden taso.

5D: Rakkauden ja luovuuden taso. Valon enkelimaailma. Syiden ja seurausten yhdistyminen.

6D: Rakenteet ja niiden syntyminen ideamaailmassa. Pyhä geometria.

7D: Valon informaatio, puhtaan ajattelun välittyminen.

8D: Kosminen järjestys ja organisointi.

9D: Ekstaasi, ykseystietoisuus.

Mestari D.K. (Djwhal Kul, Tiibetiläinen mestari) on sanonut kanavoiduissa teksteissä, että ulottuvuuksia on rajaton määrä. ”Dimensio” on tapa nähdä maailma, katsomiskulman valinta. Hän sanoo, että tasoilla 3, 4, 5 ja 6 voi toimia fyysisessä kehossa, mutta kokemus muuntuu siirryttäessä tasolta toiselle. 7D:stä alkaen ihmisen tulisi kyetä toimimaan astraalikehossa tai korkeammissa kehoissa. D.K.:n mukaan tällöin aukeaisi myös näköala 9D:n jälkeen tuleviin dimensioihin.

Matematiikan dimensiot

Dimensio-käsitteellä on matematiikassa toisenlainen merkitys. Henkisessä kirjallisuudessa esiintyvät ”dimensiot” eivät tarkoita sitä, mitä matematiikassa ymmärretään dimensiolla eli ulotteisuusluvulla. Puhun tässä kuitenkin 1D – 9D:stä, koska tämä näyttää vakiintuneen henkisiin teksteihin.

Tasossa on kaksi perussuuntaa, pituus ja leveys. Taso onkin esimerkki kaksiulotteisesta avaruudesta. Tämä laajenee kolmiulotteiseksi avaruudeksi, kun mukaan otetaan uusi perussuunta, korkeus. Suora viiva, jolla on käytettävissä vain yksi suunta, pituus, on esimerkki yksiulotteisesta avaruudesta. Pallokappale on kolmiulotteinen, pallon pinta kaksiulotteinen. Koko ympyrä, sisään jäävä alue mukaan luettuna, on kaksiulotteinen ja ympyrän kehä yksiulotteinen. Pisteen ulottuvuus on nolla.

Yksi-, kaksi- tai kolmiulotteisia avaruuksia, kaaria, pintoja ja kappaleita voi havainnollistaa ymmärrettävillä geometrisilla esimerkeillä. Nykyaikainen matematiikka ei kuitenkaan ole rajoittunut käsittelemään vain tällaisia avaruuksia, vaan perussuuntia voi lisätä vapaasti, jopa äärettömän monia. Eri asia on, että moniulotteisista kohteista ei ole helppo tehdä kuvia. Sellaiset olisivat vastoin aivojemme tapaa hahmottaa maailmaa. Laskennallisina suureina vapausasteita voi kuitenkin olla miten monta tahansa.   

Lukija saattaa ehkä ihmetellä, mitä tekemistä matematiikalla on henkisten dimensioiden kanssa. Vastaan tähän, että matematiikka johdattaa ymmärtämään 6D:n maailmaa. Perustellakseni tätä tarkastelen eräitä kohtia matematiikasta ja sen historiasta.

Geometrian murros

Aleksandrialainen Eukleides (n. 300 eKr.) kokosi aikansa tunnetun geometrian teossarjaan Elementa, alkeet. Tämä säilyi geometrian oppikirjana yli 2000 vuotta. Siinä esitetyt geometrian tulokset, teoreemat, ovat edelleen täysin käypiä, mikäli tehdään tiettyjä oletuksia.

Eukleides asetti tasogeometrialle seuraavat aksioomat, jotka kuitenkin edellyttivät, että joitakin asioita piti olettaa tunnetuksi. Tällaisia olivat käsitteet: piste, suora, jana, kulma, ympyrä, suorien yhdensuuntaisuus, suoralla olevien pisteiden järjestys ja janojen pituuksien vertailu. Näitä pidettiin itsestäänselvyyksinä, eikä niitä perusteltu aksioomien avulla. Käsitteet perustuivat havaintoihin, ja niihin sisältyi lausumatta jätettyjä oletuksia. Esim. ”piste” oli ”se, millä ei ole osia”.

1.      Kahden pisteen kautta kulkee täsmälleen yksi suora.

2.      Suoralla olevasta pisteestä alkaen voidaan asettaa annetun janan mittaiset janat kumpaankin suuntaan.

3.      Jos A ja B ovat kaksi eri pistettä, on olemassa ympyrä, jonka keskipiste on A, ja joka kulkee pisteen B kautta.

4.      Suorat kulmat ovat keskenään yhtä suuria.

5.      Suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan asettaa täsmälleen yksi mainitun suoran suuntainen suora (ns. paralleeliaksiooma).

Tältä pohjalta voitiin todistaa kaikki tasogeometrian teoreemat. Aksiomaattisen menetelmän tarkoituksena on perustella teoria valituilla yksinkertaisilla väitteillä. Silloin myös vaikeammin ymmärrettävät tulokset tulevat uskottaviksi.

Näistä aksioomista pidettiin muita itsestään selvinä, mutta paralleeliaksiooman asema herätti kysymyksiä kautta vuosisatojen. Sitä yritettiin todistaa seuraukseksi muista aksioomista. ”Todistuksia” myös julkaistiin, mutta aina joku kilpaileva paralleeliaksiooman todistaja löysi niistä virheitä. Löydettiin vain tuloksia, joita voisi ottaa aksioomaksi paralleeliaksiooman sijalle. Eräs näistä on: ”Kolmion kulmain summa on oikokulma.”

Ratkaisu saatiin vasta 1800-luvulla. Silloin matemaatikot (Bolyai, Lobachevski, Riemann) löysivät geometrisia systeemejä, joissa oli voimassa vastakkainen lause: suoran ulkopuolella olevan pisteen kautta oli mahdollista asettaa useita sen suuntaisia suoria. ”Yhdensuuntaisuus” tarkoittaa: Suorat ovat yhdensuuntaisia, jos niillä ei ole yhteistä pistettä.

Tällaisia ns. epäeuklidisen geometrian malleja voitiin esittää euklidisessa geometriassa. Joissakin niistä jouduttiin nimeämään eräitä käyriä suoriksi. Toisaalta epäeuklidisesta geometriasta lähtien voitiin konstruoida euklidinen geometria. Tämä tarkoittaa, että ei voi sanoa, että jompikumpi olisi ”oikea” ja toinen ”väärä” geometria. Jos toinen osoittautuisi ristiriitaiseksi, näin kävisi myös toiselle.

Nämä havainnot johtivat geometrian perusteiden tarkempaan tutkimiseen. David Hilbert julkaisi v. 1899 kirjan Grundlagen der Geometrie (Geometrian perusteet), jossa hän esitti uuden aksiomatisoinnin euklidiselle geometrialle. Hän tarvitsi 16 aksioomaa saadakseen klassisen euklidisen geometrian erotetuksi muunlaisista geometrioista. 

Hilbertin aksioomajärjestelmä on riippumaton siinä mielessä, että mikään aksiooma ei seuraa muista. Sen ristiriidattomuus on palautettu reaalilukujen järjestelmän ristiriidattomuuteen. Jos siis reaaliluvut ovat ristiriidattomia, niin on euklidinen geometriakin.

Teoria ja käytäntö

Saattaa kuulostaa oudolta, että joitakin ”käyriä” ruvettaisiin kutsumaan ”suoriksi”. Maan pinnalla ”suoraksi” kokemamme viiva kaareutuu kuitenkin ympyräksi, joka palaa takaisin kierrettyään Maapallon. Pallon pinnalla suoran vastine eli lyhin kaari kahden pisteen välillä on osa pallon ns. isoympyrää. Tämä tarkoittaa pallon ja sen keskipisteen kautta kulkevan tason leikkausympyrää. Kaksi isoympyrää leikkaa toisensa kahdessa pisteessä, eikä pallon pinnalla siten ole lainkaan yhdensuuntaisia ”suoria”.

Käsityksen saaminen ”todellisesta” suorasta luonnossa vaatisi Maan pinnalta irrottautumista ja suoran jatkamista läpi koko universumin. Tunnettu universumi on vain äärellisen kokoinen, joten tämäkään ei riitä. Jos useat suorat olisivat ”lähes yhdensuuntaisia”, niillä saattaisi olla tai olla olematta leikkauspisteitä tuollaisilla etäisyyksillä.

Euklidinen geometria on struktuurina yksinkertainen. Siksi matematiikan teorioita pyritään yleensä esittämään euklidisia avaruuksia käyttäen, ellei ole tarvetta muuhun.

Jos vaaditaan, että ”suora” tai ”kaari” olisi todella yksiulotteinen, sillä tulisi olla vain pituusulottuvuus eikä lainkaan leveyttä tai paksuutta. Tällaista viivaa ei kukaan ole koskaan piirtänyt millekään pinnalle Maassa. Luonnossa ei myöskään ole olemassa sellaista pintaa, jolla ei olisi paksuutta.

Ideamaailma ja rinnakkaiset totuudet

Tästä huolimatta geometrian pisteet, suorat ja tasot ovat olemassa ideamaailmassa. Henkisissä kirjoituksissa tätä vastaisi kuudes ulottuvuus, 6D. Ajattelun tuloksina kehitetyt euklidiset ja epäeuklidiset geometriat sijoittuvat luonnollisella tavalla sinne.

Eräs nykyaikaisen matematiikan tapa on tutkia struktuurille asetettavia vaatimuksia, sen aksiomatiikkaa, ja muunnella aksioomeja. Näin syntyy rinnakkaisia ja vaihtoehtoisia struktuureja ja teorioiden yleistyksiä.

Nämä voivat elää sovussa 6D:n ideamaailmassa, vaikka yksittäisen teorian yksi perusvaatimus on sen ristiriidattomuus. Totuus on tietyn teorian sisällä määritelty, mutta nykymatematiikka etsii vaihtoehtoja. Ei ole ristiriitaa siinä, että eri teorioissa saadaan toisilleen ristiriitaisia tuloksia. Kunkin teorian totuudet hyväksytään tosiksi omassa viitekehyksessään. Tässä kohden matemaattisella ajattelulla on paljon annettavaa henkisen tien kulkijoille.

Reaaliluvut

Matematiikan soveltaminen luonnon kuvailuun johti siihen, että tarvittiin ns. jatkuvien funktioiden teoriaa. Tämän keskeisiä tuloksia on väliarvolauseeksi kutsuttu väite. Se sanoo, että jos funktiolla on lukuvälin alku- ja loppupisteissä toisessa positiivinen ja toisessa negatiivinen arvo, niin jossakin tällä välillä on olemassa piste, jossa funktio saa arvon 0. Väliarvolauseen todistaminen päteväksi kaikille jatkuville funktioille vaatii seuraavan ehdon toteutumista: Ylöspäin rajoitetun joukon ylärajojen joukossa on olemassa pienin luku. Jos tämä vaaditaan, lukujärjestelmä, jossa ovat mukana kaikki rationaaliluvut eli murtoluvut, laajenee sisältämään kaikki ns. reaaliluvut.

Tämä on eräänlainen porttikohta matematiikkaa opiskelevalle: Hän voi käyttää reaalilukuja ikään kuin ne kuuluisivat jokapäiväiseen olemassaoloon. Mutta jos hän tahtoo ymmärtää niiden olemuksen, hänen on ainakin jotenkin tavoitettava ideamaailman todellisuus. Reaaliluvut ovat varsinaisesti olemassa ideamaailmassa eli henkisen kirjallisuuden käsittein sanottuna 6D:ssä.

 Reaalilukuja on enemmän kuin rationaalilukuja, mutta laskuissa joudutaan tyytymään rationaalisiin likiarvoihin ja arvioon virheen suuruudesta. Tämä koskee myös tietokoneilla laskemista. Tällä tavoin konkreettinen laskeminen siirtyy arkiseen 3D-maailmaan.

Matematiikka ja logiikka

1900-luvun alussa ryhdyttiin filosofi Bertrand Russellin johdolla hankkeeseen, jolla matematiikka yritettiin osoittaa logiikan osa-alueeksi. Osoittautui, että asia ei ollut näin, mutta saatiin ymmärrystä matematiikan ja logiikan vuorovaikutuksesta. Tärkeä havainto on, että logiikka voi vain tarkastella sitä, miten väitteiden totuusarvot siirtyvät eteenpäin päättelyjen kuluessa. Lähtökohdista on tiedettävä, ovatko ne totta vai eivät. Todistusten looginen analyysi kertoo vain, onko matkan varrella toimittu virheettömästi.

Eräs tulos oli, että jo luonnollisten lukujen eli lukumäärää ilmaisevien positiivisten kokonaislukujen teoria on sellainen, että sen ristiriidattomuutta ei ole mahdollista todistaa sen omissa puitteissa. Luonnollisten lukujen ristiriidattomuudelle on esitetty todistuksia, mutta niissä tarvitaan luonnollisten lukujen ”tasoa” korkeammalle kuuluvia keinoja. Siten luonnollisten lukujen teorian ristiriidattomuus jää tavallaan uskon asiaksi. Ristiriitoja ei ole toistaiseksi ilmennyt.

1900-luvulla on myös tehty esityksiä vaihtoehtoisiksi logiikan järjestelmiksi. Klassista logiikkaa, joka on periytynyt Platonin oppilaalta Aristoteleelta, joskin kehitettynä ja nykyään eri tavalla esitettynä, voi joskus pitää liiankin kaksiarvoisena. Eräs vaihtoehdoista on n. 1960-luvulta alkaen tunnettu sumea logiikka, jota on sovellettu mm. kodinkoneiden tai liikennevalojen ohjauksessa. Tällä on pyritty joustavaan päätöksentekoon epätäsmällisten tietojen pohjalta, ja myös mallittamaan ihmisen jokapäiväistä päättelytapaa.

Laajentuva matematiikka

Matematiikan tutkimusalue on laajentunut valtavasti 1900-luvun alun jälkeen. Hilbertin sanotaan olleen viimeinen suuri matemaatikko, joka tunsi oman aikansa matematiikan kokonaan.

Matematiikka on jo yli sata vuotta sitten luopunut kuvitelmasta, että olisi olemassa kertakaikkinen matemaattinen totuus. Matematiikka luo malleja, joita voi soveltaa moniin tarkoituksiin. Kukin niistä toimii johdonmukaisesti omilla ehdoillaan.

Monet matemaatikot eivät ole edes pyrkineet siihen, että heidän tutkimuksiaan voisi soveltaa johonkin. Heitä on saattanut kiinnostaa vain teorian sisäinen kauneus. Näin he ovat toimineet pioneereina opiskeltaessa 6D-tietoisuutta, riippumatta siitä, onko heillä ollut joitakin käsityksiä 1D – 9D:stä. En tarkoita, että matemaatikko ilman muuta eläisi koko ajan henkisessä 6D-ulottuvuudessa, vaan että hänen täytyy tavoittaa jotain abstraktista ideamaailmasta voidakseen ymmärtää tiedettään. Tämä koskee luonnollisesti monia muitakin tieteen harjoittajia.

1800-luvun loppupuoli on ollut matematiikassa murroksen aikaa. Viimeistään silloin matemaatikoiden oli pakko tavoittaa näkemystä, joka sijoittuu 6D-todellisuuteen. Silloin löydettiin epäeuklidiset geometriat. Silloin ruvettiin ymmärtämään täydellisemmin reaalilukujen olemusta. Aiempien vuosisatojen perintö kypsyi valmiiksi matematiikan perusteiden syvälliseen analyysiin.

Monet kokevat matematiikan vaikeaksi. Tähän on jokapäiväisiä syitä, kuten se, että matematiikka rakentuu tavalla, jossa tiedoissa olevaa aukkoa on vaikea paikata muuten kuin ahkeruudella. Mutta olisiko eräs vaikeuden syy se, että opiskelija joutuu tekemisiin sellaisten asioiden kanssa, joita tulisi oikeastaan katsoa 6D-tasolta? En väitä, että 6D olisi yhtenevä matematiikan maailman kanssa, sanon vain, että 6D:ssä on paljon matemaattista ainesta.

 Moniulotteinen elämä

Matematiikan kehitys on johtanut käytännön taidoista abstrakteihin teorioihin. Henkistä puhetapaa käyttäen on noustu arkisesta 3D:stä ideamaailmaan 6D:hen. Asiaa voi katsoa myös toisin päin: Maahan aurattu vako tai viiva paperilla on suoran viivan tai oikeammin sen osan, janan, vajavainen fyysinen kuva. Tällä tavoin 6D:ssä elävää puhdasta ideaa esittää 3D-maailmassa karkea muoto. Näin päin kulkevat Hengen virikkeet laskeutuessaan siunaamaan Maata:

Korkeimmasta säteilevä luova impulssi synnyttää 9D-ekstaasin, organisoituu 8D:ssä ja kuljettaa 7D-viestin 6D:hen, jossa se kiteytyy puhtaaksi ideaksi. Tämä välittyy 5D-valon olennoille, jotka ojentavat sen 4D:hen saamaan rajoitukset ja muodon, joka on valmis annettavaksi 3D-maailmaan työstettäväksi arjessa yhdessä 2D-elementaalien kanssa. 1D-juuri käyttää sitä ravinnokseen ja vastaa hehkumalla elämän voimaa.

Emme elä vain 3D:ssä, vaan meissä on kaikki dimensiot. Voi olla, että katsomme maailmaa jonkin dimension silmälasien läpi. Onko siirtyminen dimensiosta toiseen kertakaikkinen tapahtuma, vai käykö se vähittäin? Vihjeen voisi antaa 1900-luvun lopun matematiikka: Löytyi omituisia fraktaaleiksi sanottuja joukkoja, joiden dimensio saattoi ollakin jotain kokonaislukujen väliltä.

Katsomisesta puhuminen voi johdattaa ajattelemaan, että näkökuvamme maailmasta muuttuisi uudessa ulottuvuudessa. Ehkäpä onkin kyse siitä, mitä tietoisuudessamme on missä tahansa muodossa. Opimmeko olemaan tietoisia useammista ulottuvuuksista yhtä aikaa?

Monet matematiikan harjoittajat ovat joutuneet ainakin ajoittain kohottamaan tietoisuuttaan 6D:hen. Tämä antaa toivoa siitä, että luonnollinen kasvumme avaa sopivassa tahdissa niitä ulottuvuuksia, jotka ovat kehityksellemme ajankohtaisia. Matematiikan kehittyminen 3D-maailman ymmärtämisestä 6D-ideamaailman viisauteen osoittaa tietä korkeisiin dimensioihin. Olennaista on rakastaa olemassaoloamme 3D:ssä. 

(Takaisin)